Question

【题目】如图，函数y=的图象与双曲线y=（k≠0，x＞0）相交于点A（3，m）和点B．

（1）求双曲线的解析式及点B的坐标；

（2）若点P在y轴上，连接PA，PB，求当PA+PB的值最小时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）双曲线的解析式为y=，点B的坐标为（6，3）；点P的坐标为（0，5）．

【解析】分析：(1)由一次函数的解析式可得点A的坐标，从而求出反比例函数的解析式，解由一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组可求点B的坐标；(2)作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B，直线A′B与y的交点即为点P，用待定系数法求直线A′B的解析式后即可求点P的坐标.

详解：(1)把A(3，m)代入y＝2x，可得m＝2×3＝6，∴A(3，6)，

把A(3，6)代入y＝，可得k＝3×6＝18，

∴双曲线的解析式为y＝；

当x>3时，解方程组，可得或(舍去)

∴点B的坐标为(6，3).

(2)如图所示，作点A关于y轴的对称点A′(－3，6)，连接A′P，则A′P＝AP，

∴PA＋PB＝A′P＋BP≥A′B

当A′，P，B三点共线时，PA＋PB的最小值等于A′B的长.

设A′B的解析式为y＝ax＋b，

把A′(－3，6)，B(6，3)代入，可得，解得.

∴A′B的解析式为y＝x＋5，

令x＝0，则y＝5，

∴点P的坐标为(0，5).