Question

【题目】将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到个小正方体，通过观察我们可以发现个小正方体全是个面涂有颜色的．如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有个是个面涂有颜色的，有个是个面涂有颜色的，有个是个面涂有颜色的，还有个各个面都没有涂色．

（1）如果把正方体的棱等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱等分呢？（请填写下表）：

棱等分数	等分	等分
面涂色的正方体	___________个	_____________个
面涂色的正方体	__________个	____________个
面涂色的正方体	___________个	____________个
各个面都无涂色的正方体	___________个	____________个

（2）请直接写出将棱等分时只有一个面涂色的小正方体的个数_____________．

Answer 1

【答案】（1）8，8；24，（12n-24）；24，6(n-2)2；8，(n-2)3；（2）150个

【解析】

（1）根据把正方体的棱等分或n等分，面涂色的正方体，面涂色的正方体，面涂色的正方体，各个面都无涂色的正方体的特点，进行计算，即可得到答案；

（2）根据将棱n等分时只有一个面涂色的小正方体的个数的表达式，即可求解．

（1）∵把正方体的棱等分，正方体的顶点处的小正方体3面涂色，

∴把正方体的棱等分，面涂色的正方体有：8个，

同理：把正方体的棱等分，面涂色的正方体有：8个，

∵把正方体的棱等分，每条棱上有2个小正方形2面涂色，

∴把正方体的棱等分，2面涂色的正方体有：2×12=24个，

∵把正方体的棱等分，每条棱上有(n-2)个小正方形2面涂色，

∴把正方体的棱等分，2面涂色的正方体有：（12n-24）个，

∵把正方体的棱等分，每个面上有4个小正方形1面涂色，

∴把正方体的棱等分，1面涂色的正方体有：4×6=24个，

∵把正方体的棱等分，每个面上有(n-2)2个小正方形1面涂色，

∴把正方体的棱等分，1面涂色的正方体有：6(n-2)2个，

∵把正方体的棱等分，内部的小正方体各个面都无涂色，

∴把正方体的棱等分，各个面都无涂色的正方体有：23=8个，

∵把正方体的棱等分，内部的小正方体各个面都无涂色，

∴把正方体的棱等分，各个面都无涂色的正方体有：(n-2)3个.

故答案是：8，8；24，（12n-24）；24，6(n-2)2；8，(n-2)3；

（2）当n=7时，

6(n-2)2=6×(7-2)2=150，

答：将棱等分时只有一个面涂色的小正方体的个数为150个．

故答案是：150个