Question

【题目】已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．

（1）求证：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重叠部分（即△BEG）的面积；

（3）现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′（如图2），使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）；

（3）没有变化，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；

（2）由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；

（3）首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得DE’=B’E’=BE，由（1）可知BE=CF，从而得CF=DE’，继而可得DF=CE’；

试题解析：（1）正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=90°，∴∠CBF=∠BAE ，∴△ABE ≌△BCF ；

（2）∵正方形面积为3，∴AB=，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE，∴，又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，∴S△BGE==；

（3） ∵BE=1，AB=，∴tan∠BAE=，∴∠BAE=30°，由已知易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，∴DE’=B’E’=BE，∵△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∴CF=DE’，∴DF=CE′；