Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．

（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD．

（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据SAS直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；

（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论．

证明：（1）在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠CAE＝∠CBD；

（2）如图2，记AE与CF的交点为M，

在Rt△BCD中，点F是BD的中点，

∴CF＝BF，

∴∠BCF＝∠CBF，

由（1）知，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BCF＝∠CAE，

∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，

∴∠AMC＝90°，

∴AE⊥CF．