Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.

(1)求证：CE＝CF；

(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2)GE＝BE＋GD成立

【解析】试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF；

（2）由（1）得CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

试题解析：(1)∵在正方形ABCD中，BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF(SAS)

∴CE＝CF.

(2)GE＝BE＋GD成立．

理由：由(1)，得△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF，

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠BCD＝∠ECF＝90°，

又∵∠GCE＝45°，

∴∠GCF＝∠GCE＝45°，

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG(SAS)，

∴GE＝GF，

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.