Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.

求证：(1)∠EBC＝∠D；

(2)BC＝EC.

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质可知：∠ABC＋∠D＝180°，而∠ABC＋∠EBC＝180°，从而可以证明∠EBC＝∠D；

（2）连接AC，先根据直径所对的角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠E＝∠D，∠EBC＝∠E，从而根据等角对等边可证BC＝EC.

证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠ABC＋∠D＝180°.

又∵∠ABC＋∠EBC＝180°，

∴∠EBC＝∠D.

(2)如图，连结AC.

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∵C是的中点，∴∠EAC＝∠CAD，

而∠EAC与∠E互余，∠CAD与∠D互余，

∴∠E＝∠D，由(1)得∠EBC＝∠D，

∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.