Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，点D为斜边AB上动点．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长度；

（2）如图2，当AD=AC时，过点D作DE⊥AB交BC于点E，求CE的长度；

（3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，当△ACD为等腰三角形时，直接写出AD的长度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当△ACD为等腰三角形时，AD的长度为：15或18或.

【解析】

（1）由勾股定理求出BC的长度，再由面积法求出CD的长度即可；

（2）连接AE，可证明△ACE≌△ADE，得到CE=DE，设CE=DE=x，则BE=，由BD=10，则利用勾股定理，求出x，即可得到CE的长度；

（3）当△ACD为等腰三角形时，可分为三种情况进行①AD=AC；②AC=CD；③AD=CD；对三种情况进行计算，即可得到AD的长度.

解：（1）如图，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，AB=25，

∴BC=，

∴，

∴，

解得：；

（2）如图，连接AE，

∵DE⊥AB，

∴∠ADE=∠C=90°，

在Rt△ADE和Rt△ACE中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ACE，

∴DE=CE；

设DE=CE=x，则BE=，又BD=

在Rt△BDE中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴；

（3）在Rt△ABC中，有AB=25，AC=15，BC=20，点C到AB的距离为12；

当△ACD为等腰三角形时，可分为三种情况：

①当AD=AC时，AD=15；

②当AC=CD时，如图，作CE⊥AB于点E，则，

∵CE=12，由勾股定理，得

，

∴；

③当AD=CD时，如图，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

当点D是AB中点时，有AD=BD=CD，

∴；

综合上述，当△ACD为等腰三角形时，AD的长度为：15或18或.