Question

【题目】如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0）和C，O为坐标原点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y= x2+bx+c向上平移 个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）将x轴下方的抛物线图象关于x轴对称，得到新的函数图象C，若直线y=x+k与图象C始终有3个交点，求满足条件的k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵经过点A（0，﹣4）的抛物线y= x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣1，0），

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：由（1）知，抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣4= （x2﹣7x）﹣4= （x﹣ ）2﹣ ，

∴此抛物线向上平移 个单位长度的抛物线的解析式为y= （x﹣ ）2﹣ ，

再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线y= （x+m﹣ ）2﹣ ，

∴抛物线的顶点P（﹣m+ ，﹣ ），

对于抛物线y= x2﹣ x﹣4，令y=0， x2﹣ x﹣4=0，解得x=﹣1或8，

∴B（8，0），∵A（0，﹣4），B（﹣1，0），

∴直线AB的解析式为y=﹣4x﹣4，直线AC的解析式为y= x﹣4，

当顶点P在AB上时，﹣ =﹣4×（﹣m+ ）﹣4，解得m= ，

当顶点P在AC上时，﹣ = （﹣m+ ）﹣4，解得m= ，

∴当点P在△ABC内时 ＜m＜

（3）

解：翻折后所得新图象如图所示．

平移直线y=x+k知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．

①当直线位于l1时，此时l1过点B（﹣1，0），

∴0=﹣1+k，即k=1．

②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y=﹣ x2+ x+4（﹣1≤x≤8）的图象有一个公共点

∴方程x+k=﹣ x2+ x+4，即x2﹣5x﹣8+2k=0有两个相等实根．

∴△=25﹣4（2k﹣8）=0，即k= ．

综上所述，k的值为1或

【解析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．（3）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．