Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．

（1）求证：AD⊥CD；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、2.5

【解析】

试题分析：(1)、连接OC，根据OA=OC得出∠OAC=∠OCA，根据AC平分∠DAB得到∠OAC=∠DAC，从而说明∠OCA=∠DAC，得到AD∥OC，从而说明切线；(2)、连接CB，根据AB为直径得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠ADC=90°，结合∠DAC=∠CAB得到△DAC∽△CAB，从而得出AB的长度.

试题解析：(1)、连接OC

∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB ∴∠OAC=∠DAC ∴∠OCA=∠DAC ∴AD∥OC

∵直线CD与⊙O相切 ∴OC⊥CD ∴AD⊥CD

(2)、连接CB

∵AB是⊙O直径 ∴∠ACB=90°

由（1）知AD⊥CD ∴∠ADC=90°∴∠ADC=∠ACB ∵∠DAC=∠CAB ∴△DAC∽△CAB

∴ 即 ∴AB=2.5