Question

【题目】如图，△ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．
（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；
（2）填空： ①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；
②若AB=2，当∠CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形DEFG是平行四边形．

∵点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点，

∴DG∥AB，DG= AB，EF∥AB，EF= AB，

∴DG∥EF，DG=EF，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）；75°或15°
【解析】解：（2）①连接OC．
∵CA=CB，
∴ = ，
∴DG⊥OC，
∵AD=DC，AE=EO，
∴DE∥OC，DE= OC=1，同理EF= AB= ，
∴DE⊥DG，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的面积= ．
所以答案是 ；②当C是优弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=75°，
当C是劣弧AB的中点时，四边形DEFG是正方形，此时∠CAB=15°，
所以答案是75°或15°．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的判定方法(先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角)，还要掌握三角形的外接圆与外心(过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心)的相关知识才是答题的关键．