Question

【题目】定义：在同一平面内画两条相交、有公共原点的数轴x轴和y轴，交角a≠90°，这样就在平面上建立了一个斜角坐标系，其中w叫做坐标角，对于坐标平面内任意一点P，过P作y轴和x轴的平行线，与x轴、y轴相交的点的坐标分别是a和b，则称点P的斜角坐标为(a，b)．如图，w=60°，点P的斜角坐标是(1，2)，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形OMPN的面积是( )

A.B.C.D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

添加辅助线，将四边形OMPN转化为直角三角形和平行四边形，因此过点P作PA∥y轴，交x轴于点A，过点P作PB∥x轴交y轴于点B，易证四边形OAPB是平行四边形，利用平行四边形的性质，可知OB=PA，OA=PB，由点P的斜角坐标就可求出PB、PA的长，再利用解直角三角形分别求出PN，NB，PM，AM的长，然后根据S四边形OMPN=S△PAM+S△PBN+S平行四边形OAPB ， 利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式，就可求出结果.

解：过点P作PA∥y轴，交x轴于点A，过点P作PB∥x轴交y轴于点B，

∴四边形OAPB是平行四边形，∠NBP=w=∠PAM=60°，

∴OB=PA，OA=PB

∵点P的斜角坐标为（1，2），

∴OA=1，OB=2，

∴PB=1，PA=2，

∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，

∴∠PMA=∠PNB=90°，

在Rt△PAM中，∠PAM=60°，则∠APM=30°，

∴PA=2AM=2，即AM=1

PM=PAsin60°

∴PM=

∴S△PAM=

在Rt△PBN中，∠PBN=60°，则∠BPN=30°，

∴PB=2BN=1，即BN=

PN=PBsin60°

∴PN=

∴S△PBN=，

∵S四边形OMPN=S△PAM+S△PBN+S平行四边形OAPB

故答案为：B