Question

【题目】如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图甲，过点P作PH⊥AC于H，

∵∠C=90°，

∴AC⊥BC，

∴PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴ ，

∵AC=4cm，BC=3cm，

∴AB=5cm，

∴ = ，

∴PH=3﹣ t，

∴△AQP的面积为：

S= ×AQ×PH= ×t×（3﹣ t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴当t为 秒时，S最大值为 cm2

（2）

解：如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，

当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，

∴△APE∽△ABC，

∴ = ，

∴AE= = =﹣ t+4

QE=AE﹣AQ═﹣ t+4﹣t=﹣ t+4，

QE= QC= （4﹣t）=﹣ t+2，

∴﹣ t+4=﹣ t+2，

解得：t= ，

∵0＜ ＜4，

∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是 s

（3）

解：由（1）知，

PE=﹣ t+3，与（2）同理得：QE=AE﹣AQ=﹣ t+4

∴PQ= = = ，

在△APQ中，

① 当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1= ；

②当PQ=AQ，即 =t时，解得：t2= ，t3=5；

③当PQ=AP，即 =5﹣t时，解得：t4=0，t5= ；

∵0＜t＜4，

∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，

∴当t为 s或 s或 s时，△APQ是等腰三角形

【解析】（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出 = ，从而求出AB，再根据 = ，得出PH=3﹣ t，则△AQP的面积为： AQPH= t（3﹣ t），最后进行整理即可得出答案；（2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC， = ，求出AE=﹣ t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE= QC得出﹣ t+4=﹣ t+2，再求t即可；（3）由（1）知，PE=﹣ t+3，与（2）同理得：QE=﹣ t+4，从而求出PQ= ，
在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即 =t，③当PQ=AP，即 =5﹣t，再分别计算即可．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．