Question

【题目】将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′．

（I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标；

（II）设直线BO′与x轴相交于点F．

①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标；

②当OM=时，求点F的坐标（直接写出结果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）O'（，2﹣）；（Ⅱ）①F（2，0）；②F（，0）

【解析】

(I) 过点O'作O'H⊥y轴于H，由折叠可知，BO'=BO=2，∠BO'H=∠BAO=45°，利用特殊角的三角函数值求出BH、O'H，从而得到O'的坐标；

(II) ①由BA平分∠MBF时，得到∠OBF=60，利用特殊角的三角函数值求出OF，即可得到点F的坐标；②先说明△FO'M∽△FOB，从而=，设F(a,0)，利用勾股定理，用含a式子表示O'F，代入=，求出a，从而得到点F的坐标.

解：(I)如图①，过点O'作O'H⊥y轴于H，

由折叠知，△BMO≌△BMO'，

∴BO'=BO=2，

∵O'H∥OA，

∴∠BO'H=∠BAO=45°，

在Rt△BO'H中，O'H=BO'cos∠BO'H=，

∴BH=O'H=，

∴OH=OB﹣BH=2﹣，

∴O'（，2﹣）；

(II)①∵BA平分∠MBF，

∴∠ABO=3∠MBA=45°，

∴∠ABF=∠MBA=15°，

∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°，

在Rt△BOF中，OF=OBtan60=2，

∴F（2，0）；

②由折叠知，O'M=OM=，O'B=OB=2，∠MO'F=90°=∠FOB，

∵∠FO'M=∠FOB，

∴△FO'M∽△FOB，

∴=，

设F（a，0）（a＞0），

∴OF=a，

在Rt△BOF中，BF=，

∴O'F=﹣2，

∴，

∴a=0（舍）或a=，

F（，0）.

故答案为：(I)O'（，2﹣）；(II)①F（2，0）；②F（，0）