Question

【题目】将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB= ，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时DPBQ的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，AB=2 ，∠BAC=30°，

∴BC= ，AC=3．

如图（1），作DF⊥AC．

∵Rt△ACD中，AD=CD，

∴DF=AF=CF= ．

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC=30°，

∴CP=BCtan30°=1，

∴PF= ，

∴DP= =

（2）解：当P点位置如图（2）所示时，

根据（1）中结论，DF= ，∠ADF=45°，

又∵PD=BC= ，

∴cos∠PDF= = ，

∴∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF﹣∠PDF=15°．

当P点位置如图（3）所示时，

同（2）可得∠PDF=30°．

∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．

故∠PDA的度数为15°或75°；

（3）解：当点P运动到边AC中点（如图4），即CP= 时，

以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．

∵四边形DPBQ为平行四边形，

∴BC∥DP，

∵∠ACB=90°，

∴∠DPC=90°，即DP⊥AC．

而在Rt△ABC中，AB=2 ，BC= ，

∴根据勾股定理得：AC=3，

∵△DAC为等腰直角三角形，

∴DP=CP= AC= ，

∵BC∥DP，

∴PC是平行四边形DPBQ的高，

∴S平行四边形DPBQ=DPCP= ．

【解析】（1）作DF⊥AC，由AB的长求得BC、AC的长．在等腰Rt△DAC中，DF=FA=FC；在Rt△BCP中，求得PC的长．则由勾股定理即可求得DP的长．（2）由（1）得BC与DF的关系，则DP与DF的关系也已知，先求得∠PDF的度数，则∠PDA的度数也可求出，需注意有两种情况．（3）由于四边形DPBQ为平行四边形，则BC∥DF，P为AC中点，作出平行四边形，求得面积．