Question

【题目】定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．

（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；

（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；
②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2,
（2）解：如图，

当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：

①当2≤m＜4时，d=|n|（-2≤n≤2），

或：过点B作BE⊥x轴于点E，线段BC与线段OA的距离等于BE长，

OE=m，AE=OA-OE=4-m，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，d= = ；

②当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2

（3）解：根据题意画出图形，点M形成的图形为图中红线表示的封闭图形，

由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，

其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，

∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π
①先根据题意画出图形，易求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②

【解析】解：（1）当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离等于平行线间的距离，即为2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，

如图，

过点B作BD⊥x轴于点D，则AD=5-4=1，BD=2，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB= ；

（1）按照新定义的要求可知当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离等于平行线间的距离(为2)，当m=5，n=2时，可求出点B的坐标，线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，根据勾股定理就可求出结果。
（2）根据题意可知，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当①当2≤m＜4时，过点B作BE⊥x轴于点E，线段BC与线段OA的距离等于BE长；②当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2。
（3）先画出图形，符合题意的相似三角形有三个，再分类讨论，分别利用点的坐标关系及相似三角形的性质列出方程，即可求出m的值。