Question

【题目】王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书，第31页遇到这样一道题：
如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP．

要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是__，或__．
（1）王华补充的条件是 ， 或 ．
（2）请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2= AB2+AB．BC．
求∠C的度数．

Answer 1

【答案】
（1）∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）,或AC2=AP?AB
（2）解：延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：

∵AC2=AB2+ABBC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=ABAD，

∴ ，

又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，

∴∠ACB=∠D，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，

∴3∠ACB+30°=180°，

∴∠ACB=50°

【解析】解：（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=APAB；理由如下：

∵∠A=∠A，

∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或 ，即AC2=APAB时，△ACP∽△ABC；

【考点精析】利用三角形的内角和外角和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．