Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为2，点E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF＝BD＝2，设△BEF的面积为S，则S的取值范围是______．

Answer 1

【答案】≤S≤．

【解析】

先证明△BDE≌△BCF，再求出△BEF为正三角形即可解答.

解：∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2，

∴△ABD和△BCD都为正三角形，

∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，

∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，

∴DE＝CF，

∴△BDE≌△BCF(SAS)；

∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，

∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，

∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，

∴△BEF为正三角形；

设BE＝BF＝EF＝x，

则S＝xxsin60°＝x2，

当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，

∴S最小＝×()2＝，

当BE与AB重合时，x最大＝2，

∴S最大＝×22＝，

∴≤S≤．

故答案为：≤S≤．