Question

【题目】已知如图，三点在同一直线上，.

（1）已知点在直线上，根据条件，请补充完整图形，并求的长；

（2）已知点在直线上，分别是，的中点，根据条件，请补充完整图形，并求的长，直接写出与的长存在的数量关系；

（3）已知点在直线上，分别是，的中点，根据条件，请补充完整图形，并求的长，直接写出与的长存在的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）图见解析；AC=4或8；（2）图见解析；MN=2或4；MN=；（3）MN=3；MN=.

【解析】

（1）根据点C的位置有两种情况分类讨论，①当点C在点B的左侧时，易求此时AC的长；②当点C在点B的右侧时，易求此时AC的长；

（2）①当点C在点B的左侧时，根据中点的定义，可得：MB=，NB=，从而求出MN与AC的长度关系，再根据（1）中此时AC的长，即可求出MN的长；②当点C在点B的右侧时，原理同上；

（3）①当点C在点B的左侧时，根据中点的定义，可得：MC=，CN=，从而求出MN与AB的长度关系，即可求出MN；②当点C在点B的右侧时，原理同上.

解：（1）根据题意，点C的位置有两种情况

①当点C在点B的左侧时，补全图形如下所示

∵，

∴AC=AB－BC=4；

②当点C在点B的右侧时，补全图形如下所示

∵，

∴AC=AB＋BC=8.

综上所述：AC=4或8；

（2）①当点C在点B的左侧时，补全图形如下所示

∵分别是，的中点，

∴MB=，NB=

∴MN=MB－NB=－===

由（1）可知：此时AC=4

∴MN==2；

②当点C在点B的右侧时，补全图形如下所示

∵分别是，的中点，

∴MB=，NB=

∴MN=MB+NB=+===

由（1）可知：此时AC=8

∴MN==4；

综上所述：MN=2或4；MN=；

（3）①当点C在点B的左侧时，补全图形如下所示

∵分别是，的中点，

∴MC=，CN=

∴MN=MC+ CN =+====3；

②当点C在点B的右侧时，补全图形如下所示

∵分别是，的中点，

∴MC=，CN=

∴MN=MC－ CN =－====3；

综上所述：MN=3；MN=.