Question

【题目】如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度；

（2）求证：△ACM≌△BCP；

（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．

Answer 1

【答案】（1）∠APC＝60°，∠BPC＝60°；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）同弧所对圆周角相等.(2)证明A、P、B、C四点共圆，再利用AAS证明三角形全等.(3) 作PH⊥CM于H，利用（2）全等证明PCM是等边三角形，Rt△PMH是30°特殊三角形，可求得梯形PBCM的面积．

试题解析：

解答：（1）解：∠APC＝60°，∠BPC＝60°；

（2）证明：∵CM∥BP，

∴∠BPM＋∠M＝180°，

∠PCM＝∠BPC，

∵∠BPC＝∠BAC＝60°，

∴∠PCM＝∠BPC＝60°，

∴∠M＝180°－∠BPM＝180°－（∠APC＋∠BPC）＝180°－120°＝60°，

∴∠M＝∠BPC＝60°，

又∵A、P、B、C四点共圆，

∴∠PAC＋∠PBC＝180°，

∵∠MAC＋∠PAC＝180°，

∴∠MAC＝∠PBC，

∵AC＝BC，

∴△ACM≌△BCP；

（3）解：作PH⊥CM于H，

∵△ACM≌△BCP，

∴CM＝CP AM＝BP，

又∠M＝60°，

∴△PCM为等边三角形，

∴CM＝CP＝PM＝PA＋AM＝PA＋PB＝1＋2＝3，

在Rt△PMH中，∠MPH＝30°，

∴PH＝，

∴S梯形PBCM＝（PB＋CM）×PH＝(2＋3)×＝ ．