Question

【题目】如图：已知△ABC中，CA=CB，CD⊥AB于D点，点M为线段AC上一动点，线段MN交DC于点N，且∠BAC=2∠CMN，过点C作CE⊥MN交MN延长线于点E，交线段AB于点F，探索的值.

（1）若∠ACB=90°，点M与点A重合（如图1）时：①线段CE与EF之间的数量关系是 ；②= ；

（2）在（1）的条件下，若点M不与点A重合（如图2），请猜想写出的值，并证明你的猜想

（3）若∠ACB≠90°，∠CAB=，其他条件不变，请直接写出的值（用含有的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①CE=EF，② ；（2）=，理由见解析；（3）=.

【解析】(1)、根据等腰三角形的三线合一定理得出点E为CF的中点，从而得出答案；(2)、过点M作MQ//AB交CD于点P，交CF于点Q，根据等腰三角形、直角三角形的性质得出△MPN和△CPQ全等，从而得出CE=EQ ，MC=MQ，即CE=CQ=MN；(3)、如图3，同(1)、(2)可得CE= CQ，易证△MPN~△CPQ，则有，即．

(1)、①CE=EF；② ；

(2)、=

理由如下：如图2所示：过点M作MQ//AB交CD于点P，交CF于点Q，

则有∠CMP=∠BAC=45°， ∴CP=MP，

∵∠BAC=2∠CMN， ∴∠CMP=2∠CMN， ∴∠CMN=∠NMP=22.5°，∵CE⊥MN，

∴∠CEM=∠QEM=90°，∴CE=EQ （三线合一），∵CD⊥AB， MQ//AB，

∴CD⊥MQ，∴∠MPN=∠CPQ=90°，又∵∠NCE+∠CNE=∠NCE+∠CQN=90°，

∴∠CQN=∠CNE=∠MNP，又CP=MP，∴△MPN△CPQ，∴CE=EQ ，MC=MQ，

∴CE=CQ=MN，∴=；

(3)、=．

图1 图2 图3