Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3）两点，点B、C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形？若存在，请求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，

得

解得： ，

∴y=﹣x2+4x

（2）

解：∵抛物线y=﹣x2+4x的对称轴为x=2，

又点B的坐标为（1，3），点B、C关于抛物线的对称轴对称，

∴点C的坐标为（3，3）．

假设存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形．

①当M在x轴上方时，如图1

，

∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，

∴∠CMB=∠MNH．

在△CBM和△MHN中

，

△CBM≌△MHN（AAS），

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0）．

②M在x轴下方时，如图2

，

∵∠CMB+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，

∴∠CMB=∠MNH．

在△CBM和△MHN中

，

△CBM≌△MHN（AAS），

∴HM=CB=2，HN=MB=2+3=5，

∴M（1，﹣2），N（﹣4，0）．

综上所述，存在这样的点M（1，2），N（2，0）或M（1，﹣2），N（﹣4，0）使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据全等三角形的判定与性质，可得MH，HN的值，根据点的坐标，可得答案．