Question

【题目】已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两实数根．

（1）求m的范围；

（2）若，求m的值；

（3）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

【答案】（1）m≥2；（2）m的值为6；（3）这个三角形的周长为17．

【解析】

（1）根据一元二次方程的判别式与根的关系可得△≥0，解不等式即可得出m的取值范围；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2和x1x2的值，代入可得关于m的方程，解方程求出m的值即可；

（3）分7为腰和底边两种情况，分别根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根的判别式求出m的值，可得出三角形的三边长，根据三角形的三边关系即可求出三角形的周长．

（1）∵关于x的一元二次方程有两实数根，

∴△=4（m+1）2-4（m2+5）=8m-16≥0，

解得：m≥2．

（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程的两实数根．

∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，

∵（x1-1）（x2 -1）=28，即x1x2-（x1+x2）+1=28，

∴m2+5-2（m+1）+1=28，

整理得：m2-2m-24=0，解得m1=6，m2=-4，

由（1）得m≥2，

∴m的值为6．

（3）①当7为腰时，则x1、x2中有一个为7，设x1=7，

把x1=7代入方程得：49-14（m+1）+m2+5=0，

整理得m2-14m+40=0，

解得m1=10，m2=4，

当m=10时，x1+x2=2（m+1）=22，

解得：x2=15，

∵7+7<15，

∴不能构成三角形，故舍去；

当m=4时，x1+x2=2（m+1）=10，

解得：x2=3，

∴三角形周长为3+7+7=17；

②当7为底边时，则x1=x2，

∴△=8m-16=0，

解得：m=2，

∴方程化为x2-6x+9=0，解得x1=x2=3，

∵3+3<7，

∴不能构成三角形，故舍去，

∴这个三角形的周长为17．