Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．

（1）求证：CA是⊙O的切线．

（2）若AB＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析:(1)连接OA,根据AB＝AC,可证∠C＝∠B＝30°,根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半,可求得∠AOD＝60°,根据三角形内角和可得∠CAO＝90°,所以OA⊥CA,根据切线的判定定理即可求证,(2)根据特殊三角形函数值解直角三角形求出OA,再根据面积公式计算出,三角形OAC的面积,利用扇形面积公式计算扇形AOD的面积,根据面积割补法求阴影部分面积即可.

试题解析:（1）如图,连接OA,

∵ AB＝AC,∠B＝30°,

∴ ∠C＝∠B＝30°,∠DOA＝2∠B＝60°,

∴ ∠CAO＝90°,

即OA⊥CA,

又OA是⊙O的半径,

∴ CA是⊙O的切线,

（2）∵ AB＝,AB＝AC,

∴ AC＝2,

∵ OA⊥CA,∠C＝30°,

∴ OA＝AC·tan30°＝2·＝2,

∴ S扇形OAD＝＝π,

∴S阴影＝S△AOC－S扇形OAD＝2－π.