Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），D（0，c），其中a，b，c满足2a2+b2+c2-2ab-8a-2c+17=0，过坐标O作直线BC交线段OA于点C．
（1）如图1，当∠ODA=∠OCB时，求点C的坐标；

（2）如图2，在（1）条件下，过O作OE⊥BC交AB于点E，过E作EF⊥AD交OA于点N，交BC延长线于F，求证：BF=OE+EF；

Answer 1

【答案】（1）C（1，0）；（2）见解析；

【解析】

（1）利用非负数的性质求出a，b，c的值，再证明△AOD≌△BOC（ASA），推出OC=OD=1解决问题；
（2）如图2中，设AD交BC于点Q，连接OQ，QE．想办法证明BQ=OE，FQ=EF即可解决问题；

（1）如图1中，

∵2a2+b2+c2-2ab-8a-2c+17=0，
∴（a-4）2+（a-b）2+（c-1）2=0，
∵（a-4）2≥0，（a-b）2≥0，（c-1）2≥0，
∴a=b=4，c=1，
∴A（4，0），B（0，4），D（0，1）．
∴OB=OA，
∵∠ODA=∠OCB，∠AOD=∠BOC=90°，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴OC=OD=1，
∴C（1，0）．
（2）如图2中，设AD交BC于点Q，连接OQ，QE．

∵△AOD≌△BOC，
∴∠DAO=∠CBO，OD=OC，
∵OB=OA，
∴BD=AC，
∵∠AQB=∠CQA，
∴△DQB≌△CQA（AAS），
∴BQ=AQ，
∵OQ=OQ，OB=OA，BQ=AQ，
∴△OQB≌△OQA（SSS），
∴∠BOQ=∠AOQ=45°，
∴∠BOQ=∠OAE，
∵BF⊥OE，
∴∠OBC+∠BOE=90°，∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠OBQ=∠AOE，∵OB=OA，
∴△OBQ≌△AOE（ASA），
∴BQ=OE，OQ=AE，
∵EQ=EQ，AQ=OE，OQ=AE，
∴△OEQ≌△AQE（SSS），
∴∠OEQ=∠AQE，
∵EF⊥AD，OE⊥BC，
∴∠F+∠FEO=90°，∠F+∠FQA=90°，
∴∠FEO=∠FQA，
∴∠FEQ=∠FQE，
∴EF=FQ，
∴BF=BQ+FQ=OE+EF．