Question

【题目】如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连结BF．

（1）求证：①△EAF≌△EDC；
②D是BC的中点；
（2）若AB=AC，求证：四边形AFBD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：①∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵点E为AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△EDC中， ，

∴△EAF≌△EDC（AAS）；

②∵△AEF≌△DEC，

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴CD=BD；

即D是BC的中点

（2）证明：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AFBD是矩形

【解析】（1）①由AF∥BC，根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，由点E为AD的中点，得出AE=DE，然后再证明三角形全等即可。②由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可。

【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定方法的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形才能正确解答此题．