Question

【题目】如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

令y=0，得x=3，

∴B（3，0），

∵经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c

∴ ，

解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）

解：由（1），得A（1，0），连接BP，

∵∠CBA=∠ABP=45°，

∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

∴P（2，﹣1），

∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴BA=2，BC=3 ，BP= ，

当△ABC∽△PBQ时，

∴ ，

∴ ，

∴BQ=3，

∴Q（0，0），

当△ABC∽△QBP时，

∴ ，

∴ ，

∴BQ= ，

∴Q（ ，0），

∴Q点的坐标为（0，0）或（ ，0）．

【解析】（1）先确定出点B，C坐标，再用待定系数法求函数解析式；（2）先求出BA=2，BC=3 ，BP= ，然后分两种情况①由△ABC∽△PBQ，得到 ，求出BQ，②由△ABC∽△QBP得 ，求出BQ，即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点才能正确解答此题．