Question

【题目】如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1））证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C（等边对等角），

∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），

∴∠ABC=∠D（等量代换），

又∵∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

（2）解：∵△ABE∽△ADB，

∴ ，

∴AB2=ADAE=（AE+ED）AE=（2+4）×2=12，

∴AB=2 ．

（3）解：直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴ =4

BF=BO= ，

∵AB=2 ，

∴BF=BO=AB，

∴∠OAF=90°，

∴OA⊥AF，

∵AO是圆的半径，

∴直线FA与⊙O相切．

【解析】（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．