Question

【题目】如图，在中，，以长为一边作，，取中点，连、、．

求证：

当________时，是等边三角形，并说明理由.

当时，若，取中点，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；

（2）证明A、B、C、D共圆，E是圆心，由圆周定理得出∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，得出∠BEC+∠AED=2×60°=120°，求出∠DEC=60°，即可；

（3）同证出，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论.

证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，的中点，

∴DE=AB，CE=AB，

∴DE=CE；

当60°时，是等边三角形，理由如下：

∵∠ACB=∠ADB=90°，

∴A、B、C、D共圆，E是圆心，

∴∠BEC=2∠CAB，∠AED=2∠DBA，

∴∠CAB+∠DBA=60°，

∴∠BEC+∠AED=2×60°=120°，

∴∠DEC=60°，

∵DE=CE，

∴△DEC是等边三角形.

故答案为；

解：同得：，，

∵，

∴，

∴，

∵是的中点，

∴．