Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C，D分别在两个半圆上（不与点A、B重合），AD、BD的长分别是关于x的方程＝0的两个实数根．

（1）求m的值；

（2）连接CD，试探索：AC、BC、CD三者之间的等量关系，并说明理由；

（3）若CD＝，求AC、BC的长．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）AC＋BC＝CD；(3) AC＝6，BC＝8或AC＝8，BC＝6．

【解析】试题分析:(1)根据一元二次方程有两个实数根可得: ≥0,解得≤0,因为≥0,所以＝5,

(2)把(1) ＝5代入方程得, ,所以AD=BD, 将△ADC绕点D逆时针旋转90°后得△BDE,根据圆内接四边形对角互补可得: ∠DAC＋∠DBC＝180°,所以∠DBE＋∠DBC＝180°,可证△CDE为等腰直角三角形,所以AC＋BC＝CE=CD,

(3) 由(2)得,AC＋BC＝CD＝ 7＝14,由勾股定理可得: AC2＋BC2＝102＝100,

联立可解得: AC＝6,BC＝8或AC＝8，BC＝6.

试题解析:（1）由题意,得　b2－4ac≥0,

∴≥0,

化简整理得,　 ≥0,

∴≤0，即≤0,

又∵≥0,

∴＝5,

（2）AC＋BC＝CD,

理由是:如图,由(1)得,　当m＝5时, ,

∴ AD＝BD,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB＝∠ADB＝90°,

将△ADC绕点D逆时针旋转90°后得△BDE,

∴△ADC≌△BDE,

∴∠DAC＝∠DBE,

∵∠DAC＋∠DBC＝180°,

∴∠DBE＋∠DBC＝180°,

∴点C,B,E三点共线,

∴△CDE为等腰直角三角形,

∴CE＝CD,

即AC＋BC＝CD,

(3)由(1)得,当m＝5时,b2－4ac,

∴ AD＝BD＝5,

∵∠ACB＝∠ADB＝90°,

∴AB＝10,

∴AC2＋BC2＝102＝100①,

由(2)得,AC＋BC＝CD＝ 7＝14②,

由①②解得AC＝6,BC＝8或AC＝8,BC＝6.