Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= S四边形ACBD时，求D点坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵令x=0得：y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3，

∴A（﹣3，0）．

将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的： ，解得： ．

∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3

（2）

解：如图1所示：

令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．

∴AB=4．

∵S△ACD= S四边形ACBD，

∴S△ADC：S△DCB=3：5．

∴AE：EB=3：5．

∴AE=4× = ．

∴点E的坐标为（﹣ ，0）．

设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得： ，

解得：k=﹣2，b=﹣3．

∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．

将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），

将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5．

∴点D的坐标为（﹣4，5）

（3）

解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得： ，

解得：k=3，b=﹣3．

∴直线BC的解析式为y=3x﹣3．

设直线DE的解析式为y=﹣ x+n，将点D的坐标代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣ = ．

∴直线DE的解析式为y=﹣ x+ ．

将y=3x﹣3与y=﹣ x+ 联立解得：x=2，y=3．

∴点E坐标为（2，3）．

依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ．

∵点P与点Q关于点B对称，

∴PB=BQ．

在△PCB和△QEB中 ，

∴△PCB≌△QEB．

∴∠BPC=∠Q．

又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG

∴∠DBE=∠DGB．

又∵∠DBE+∠BDE=90°，

∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．

∵D（﹣4，5），B（1，0），

∴DM=NB．

∴∠DBN=45°．

∴∠PBM=45°．

∴PM=MB

设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．

∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）．

∴点P的坐标为（﹣2，3）．

∴PC∥x轴．

∵∠Q=∠BPC，

∴EQ∥PC．

∴点E与点F的纵坐标相同．

将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ （舍去）．

∴点F的坐标为（﹣1 ，3）．

∴EF=2﹣（﹣1﹣ ）=3+

【解析】（1）先求得A、C两点的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）先求得AB的长，然后依据S△ACD= S四边形ACBD ， 求得AE的长，可得到E的坐标为（﹣ ，0），利用待定系数法可求得CE的解析式，然后CE的解析式与抛物线的解析式联立可求得点D的坐标；（3）过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．先求得BC和DE的解析式，从而可求得点E的坐标，然后可证明BC=BE，然后可证明△PCB≌△QEB，得到∠BPC=∠Q，依据题意可得到∠DBE=∠DGB．接下来，在证明∠PBD=90°，∠DBN=45°，然后可求得∠PBM=45°，设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3然后依据PM=MB可求得a的值，则可得到点P的坐标，然后可证明EF∥x轴，最后将点F的纵坐标代入抛物线的解析式可求得点F的横坐标，最后依据EF=xE﹣xF求解即可．