Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．

（1）如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；

（2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）△DEF是等边三角形．

【解析】试题分析：（1）先判定△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=ED=DF，从而可得△DEF是等边三角形；

（2）先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABE=∠ACF=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCF+∠CBE=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDF+∠CDE=120°，从而得到∠EDF=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明．

试题解析：（1）证明：∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形．∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，∴E、F分别是AC、AB边的中点．又∵点D是BC的中点，EF=BC，DE=AB，DF=AC，∴EF=ED=DF，∴△DEF是等边三角形；

（2）解：△DEF是等边三角形．理由如下：

∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°﹣60°=30°．在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°﹣60°﹣30°×2=60°．∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DE=DF=BD=CD，∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，∴∠EDF=60°，∴△DEF是等边三角形．