Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），

∴ ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4）

（2）解：抛物线的对称轴为直线x=1，

∵点C与E点为抛物线上的对称点，

∴E（2，3），

作EH⊥BC于H，如图1，

∵OC=OB，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，BC= OB=3 ，

∴∠ECB=45°，

∴△CHE为等腰直角三角形，

∴CH=EH= CE= ，

∴BH=BC﹣CH=2 ，

在Rt△BEH中，tan∠EBH= = = ，

即tan∠CBE的值为 ；

（3）解：直线x=﹣1交x轴于F，如图2，

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0）

∵A（﹣1，0），D（1，4），

∴AF=2，DF=4，

∴tan∠ADF= = ，

而tan∠CBE= ，

∴∠CBE=∠ADF，

AD= =2 ，BE= = ，BC=3 ，

当点M在点D的下方时，设M（1，m），

当 = 时，△DAM∽△BCE，

即 = ，解得m= ，

此时M点的坐标为（1， ）；

当 = 时，△DAM∽△BEC，

即 = ，解得m=﹣2，

此时M点的坐标为（1，﹣2）；

当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，

综上所述，满足条件的点M坐标为（1， ），（1，﹣2）

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D的坐标；（2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，易得△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC= OB=3 ，接着判断△CHE为等腰直角三角形得到CH=EH= CE= ，所以BH=2 ，然后利用正切的定义求解；（3）直线x=﹣1交x轴于F，如图2，解方程﹣x2+2x+3=0得A（﹣1，0），再利用正切定义得到tan∠AD= ，所以∠CBE=∠ADF，根据相似三角形的判定方法，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当 = 时，△DAM∽△BCE；当 = 时，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到关于m的方程，解方程求出m即可得到对应的M点的坐标；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则可判断△DAM和△BCE不相似，
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的应用的相关知识点，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能正确解答此题．