Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）求AG+AE的值；

（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE+AG＝＝4；（3）EM＝．

【解析】

（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG=EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；

（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAD＝∠EAB，

∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，

∴EM＝EN，

∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，

∴四边形ANEM是矩形，

∴∠MEN＝∠DEF＝90°，

∴∠DEM＝∠FEN，

∵∠EMD＝∠ENF＝90°，

∴△EMD≌△ENF，

∴ED＝EF，

∵四边形DEFG是矩形，

∴四边形DEFG是正方形．

（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，

∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，

∴∠ADG＝∠CDE，

∴△ADG≌△CDE，

∴AG＝CE，

∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．

（3）如图，作EH⊥DF于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝4，AB∥CD，

∵F是AB中点，

∴AF＝FB

∴DF＝，

∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，

∴DH＝HF，

∴EH＝DF＝，

∵AF∥CD，

∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，

∴FM＝，

∴HM＝HF﹣FM＝，

在Rt△EHM中，EM＝．