Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝3．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．

Answer 1

【答案】10．

【解析】

根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分N在矩形ABCD内部与N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，

∴∠MAB＝∠MNB＝90°．

∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，

∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，

∴只有∠BNC＝90°．

①

当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图1．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、N、C三点共线，

∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，

∴NC＝4．

设AM＝MN＝x，

∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，

∴在Rt△MDC中，CD2+MD2＝MC2，

32+（5﹣x）2＝（4+x）2，

解得x＝1；

当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部时，如图2．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、C、N三点共线，

∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，

∴NC＝4，

设AM＝MN＝y，

∵MD＝y﹣5，MC＝y﹣4，

∴在Rt△MDC中，CD2+MD2＝MC2，

32+（y﹣5）2＝（y﹣4）2，

解得y＝9，

则所有符合条件的M点所对应的AM和为1+9＝10．

故答案为10．