Question

【题目】菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．

（1）如图1，求∠BGD的度数；

（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；

（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）∠BGD＝120°；（2）见解析；（3）S四边形ABCD＝26．

【解析】

（1）只要证明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；
（2）如图3中，延长GE到M，使得GM=GB，连接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可证明2GH=DG+GB；
（3）解直角三角形求出BC即可解决问题；

（1）解：如图1﹣1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，

在△DAE和△BDF中，

，

∴△DAE≌△BDF，

∴∠ADE＝∠DBF，

∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，

∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．

（2）证明：如图1﹣2中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接CG．

∵∠MGB＝60°，GM＝GB，

∴△GMB是等边三角形，

∴∠MBG＝∠DBC＝60°，

∴∠MBD＝∠GBC，

在△MBD和△GBC中，

，

∴△MBD≌△GBC，

∴DM＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，

∵CH⊥BG，

∴∠GCH＝30°，

∴CG＝2GH，

∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，

∴2GH＝DG+GB．

（3）如图1﹣2中，由（2）可知，在Rt△CGH中，CH＝4，∠GCH＝30°，

∴tan30°＝，

∴GH＝4，

∵BG＝6，

∴BH＝2，

在Rt△BCH中，BC＝，

∵△ABD，△BDC都是等边三角形，

∴S四边形ABCD＝2S△BCD＝2××（）2＝26．