Question

【题目】如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为8cm，CD=2cm，求弦AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由等腰三角形的性质和角平分线得出∠2=∠3，证出∴OC∥AD，再由已知条件得出CD⊥OC，即可得出结论；

（2）作OF⊥AE于F，则AF=AE，四边形OFDC是矩形，得出OF=CD=2cm，由勾股定理求出AF，即可得出AE的长．

（1）证明：连接OC，如图所示：

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

∴CD为⊙O的切线；

（2）解：作OF⊥AE于F，如图2所示：

则AF=AE，四边形OFDC是矩形，

∴OF=CD=2cm，

∵OA=AB=4cm，

∴AF===2，

∴AE=2AF=4．