Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDF，作点F关于CD的对称点，记为点G，连接DG．

（1）依题意在图1中补全图形；
（2）连接BD，EG，判断BD与EG的位置关系并在图2中加以证明；
（3）当点E为线段AB的中点时，直接写出∠EDG的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示：

依题意补全图形如图1：

（2）解：结论：BD⊥EG．

证明：如图2，BD，EG交于M，

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠DAE=∠DCB=90°，

由旋转可得△ADE≌△CDF，DE=DF，AE=CF

∴∠DCF=∠DAE=∠DCB=90°，

∴点B，C，F在一条直线上．

∵点G与点F关于CD的对称

∴△DCG≌△DCF，DG=DF，CG=CF

∴DE=DG，AE=CG，

∴BE=BG

∴BD⊥EG于M．

（3）解：如图3，过G作GM⊥DE于M，

由（2）知，DE=DG，

设BE=x，

∴AE=CF=CG=BG=x，

∴AD=2x，

在Rt△ADE中，DE= = x，

∴DG= x，

在Rt△BEG中，EG= x，

设DM=a，

∴EM=DE﹣DM= x﹣a，

在Rt△EMG中，MG2=EG2﹣EM2，

∴MG2=2x2﹣（ x﹣a）2，

在Rt△DMG中，MG2=5x2﹣a2，

∴2x2﹣（ x﹣a）2=5x2﹣a2，

∴a= ，

∴MG= x

在Rt△DMG中，tan∠EDG= = ．

即：∠EDG的正切值为 ．

【解析】（1）根据旋转中心旋转方向旋转角度画出图形即可；（2）先利用旋转判断出B、C、F在一条直线上，进而利用轴对称得出△DCG≌△DCF即可；（3）过G作GM⊥DE于M，构造出直角三角形，再利用勾股定理即可表示出GM、DM即可得出结论。
【考点精析】利用勾股定理的概念和正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．