Question

【题目】在四边形ABCD(凸四边形)中, AB=AD=BC,∠BAD=90°,连结对角线 AC,当△ACD为等腰三角形时,则∠BCD的度数为

Answer 1

【答案】135°、90°、150°
【解析】解：
∵△ACD是等腰三角形．
如图1，当AD=AC时，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠BAD=90°,
∴∠CAC=90°-60°=30°,
∵AC=AD，
∴∠ACD= （180°-30°）=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°；

如图2，当AD=CD时，
∵AB=AD=BC，
∴AB=AD=BC=CD，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°；
如图3，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD，CE⊥AD，
∴AE= AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF= BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB∥CE，AB=BC，
∴∠ACF=∠BAC=∠BCA= ∠BCF=15°，
∴∠BCD=3∠BCA=45°.
综上所述，∠ABC的度数为135°、90°、45°．
所以答案是：135°、90°、45°．