Question

【题目】如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为上任意一点（不与点A和D重合），
PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O、I和D三点的圆的半径为r，则当点P在上运动时，求r的值．

Answer 1

【答案】解：如图，连OI，PI，DI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，
在△OPI和△ODI中，
，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，
在优弧DO取点P′，连P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′=3，
∴r的值为3．

【解析】连OI，PI，DI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以点I在以OD为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过D、I、O三点作⊙O′，如图，连O′D，O′O，在优弧AO取点P′，连P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3 ．
【考点精析】掌握三角形的内切圆与内心是解答本题的根本，需要知道三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．