Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，CA=CB，AD是腰BC边上的高，△ACD的内切圆⊙E分别与边AD、BC相切于点F、G，连AE、BE．
（1）求证：AF=BG；
（2）过E点作EH⊥AB于H，试探索线段EH与线段AB的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，
△ACD的内切圆⊙E与边BC相切于点G，所以CI=CG．
同理：AI=AF．
∵CA=CB，CI=CG，∴AI=BG．
又∵AI=AF，∴AF=BG．
（2）EH=AB，
理由：连接AE、BE、CE，
∵E是△ACD的内切圆的圆心，
∴CE平分∠ACB．
即∠ACE=∠BCE，
在△ACE和△BCE中，
，
∴△ACE≌△BCE（SAS）．
∴∠AEC=∠BEC，AE=BE，
∵E是△ACD的内切圆的圆心，∠ADC=90°，
∵∠AEC=90°+∠ADC=135°，
从而∠AEB=90°，又AE=BE，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∵EH⊥AB于H，
∴EH=AB．

【解析】（1）设△ACD的内切圆⊙E与边AC相切于点I，由题意得CI=CG．同理：AI=AF．再由CA=CB，CI=CG，则AI=BG，从而得出AF=BG．
（2）连接AE、BE、CE，由E是△ACD的内切圆的圆心，则∠ACE=∠BCE，可证明△ACE≌△BCE，则∠AEC=∠BEC，AE=BE，根据∠ADC=90°，可证明△ABE为等腰直角三角形，根据EH⊥AB，得出EH=AB．
【考点精析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心的相关知识点，需要掌握三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心才能正确解答此题．