Question

【题目】如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°，到△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
（3）探索：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由旋转的性质得：CO=CD，∠OCD=60°，

∴△COD是等边三角形；

（2）

解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．理由如下：

由旋转的性质得：△BOC≌△ADC，

∴∠ADC=∠BOC=150°，

又∵△COD是等边三角形，

∴∠ODC=60°，

∴∠ADO=90°，

即△AOD是直角三角形；

（3）

解：分三种情况：

①AO=AD时，∠AOD=∠ADO．

∵∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，

∴190°﹣α=α﹣60°

∴α=125°；

②OA=OD时，∠OAD=∠ADO．

∵∠AOD=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，

∴∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=50°，

∴α﹣60°=50°

∴α=110°；

③OD=AD时，∠OAD=∠AOD．

∵190°﹣α=50°

∴α=140°．

综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】（1）由旋转的性质得出CO=CD，∠OCD=60°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由等边三角形的性质得出∠ODC=60°，求出∠ADO=90°即可；（3）分三种情况：①AO=AD时；②OA=OD时；③OD=AD时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果．
【考点精析】利用旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．