Question

【题目】综合题
（1）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究BF，DE，EF之间的数量关系，第一学习小组合作探究后，得到DE﹣BF=EF，请证明这个结论；
（2）若（1）中的点G在CB的延长线上，其余条件不变，请在图②中画出图形，并直接写出此时BF，DE，EF之间的数量关系；
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，E，F是AC上的两点，且满足∠AED=∠BFA=∠BCD，试判断AC，DE，BF之间的数量关系，并说明理由

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，结论：DE﹣BF=EF．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，

∴∠AFB=∠DEA=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE，

∴BF=AE，AF=DE，

∵AF﹣AE=EF，

∴DE﹣BF=EF．

（2）解：结论EF=DE+BF．理由如下：

如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，

∴∠AFB=∠DEA=90°，

∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠BAF=∠ADE，

在△ABF和△DAE中，

，

∴△ABF≌△DAE，

∴BF=AE，AF=DE，

∴EF=AF+AF=DE+BF．

（3）解：如图3中，结论：AC=BF+DE．理由如下：

连接BD．

∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，

又∵∠DBC=∠DAE，∠DCB=∠AED，

∴∠ADE=∠BDC，

∵∠BDC=∠BAF，

∴∠ADE=∠BAF，∵AD=AB，∠AED=∠AFB，

∴△ADE≌△BAF，

∴AE=BF，

∵AD=AB，

∴∠ADB=∠ABD=∠ACD，

∵∠ADE=∠CDB，

∴∠CDE=∠ADB，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=CE，

∴AC=BF+DE．

【解析】（1）如图1中，结论：DE﹣BF=EF．只要证明△ABF≌△DAE，即可解决问题．（2）结论EF=DE+BF．证明方法类似（1）．（3）如图3中，结论：AC=BF+DE．只要证明△ADE≌△BAF以及DE=EC即可解决问题．