Question

【题目】如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．

（1）求证：DM=DA；
（2）如图②，点G在BE上，且∠BDG=∠C．求证：△DEG∽△ECF；
（3）在（2）的条件下，已知EF=2，CE=3，求GE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DM∥EF，

∴∠AMD=∠AFE，

∵∠AFE=∠A，

∴∠AMD=∠A，

∴DM=DA；

（2）证明：∵D、E分别是AB、BC的中点，

∴DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，∠DEB=∠C，

∴∠BDE=∠AFE，

∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，

∵∠BDG=∠C，

∴∠GDE=∠FEC，又∠DEB=∠C，

∴△DEG∽△ECF；

（3）解：∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BED，

∴ ，即BD2=BEBG，

∵DE∥AC，DM∥EF，

∴四边形DEFM是平行四边形，

∴EF=DM，

又∵DM=AD，AD=BD，

∴EF=BD=2，

∵BE=CE，EF=2，CE=3，

∴22=3BG，

∴BG= ，

∴GE=3﹣ = ．

【解析】（1）（1）根据DM∥EF得到∠AMD=∠AFE，等量代换得到∠AMD=∠A，根据等角对等边证明即可。
（2）根据三角形中位线定理得到DE∥AC，证得∠BDE=∠AFE，再根据∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，证明∠GDE=∠FEC，根据相似三角形的判定定理证明。
（3）根据已知易证△BDG∽△BED，得到BD2=BEBG，再证明四边形DEFM是平行四边形，从而求出BD、BE的长，即可求得BG的长，继而得出GE的长。
【考点精析】本题主要考查了平行线的性质和三角形中位线定理的相关知识点，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半才能正确解答此题．