Question

【题目】观察下列式子的因式分解做法：

①x2-1=(x-1)(x+1)；

②x3﹣1

=x3﹣x+x﹣1

=x（x2﹣1）+x﹣1

=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）

=（x﹣1）[x（x+1）+1]

=（x﹣1）（x2+x+1）；

③x4﹣1

=x4﹣x+x﹣1

=x（x3﹣1）+x﹣1

=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）

=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]

=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；

…

（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；

（2）观察以上结果，猜想xn﹣1= ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）

（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）（3）

【解析】

（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；

（2）由分解的规律直接得出答案即可；

（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘即可．

（1）x5﹣1

=x5﹣x+x﹣1

=x（x4﹣1）+x﹣1

=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）

=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]

=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；

（2）xn﹣1

=xn﹣x+x﹣1

=x（xn-1﹣1）+x﹣1

=x（x﹣1）（xn-2+xn-3+…+x+1）+（x﹣1）

=（x﹣1）[x（xn-2+xn-3+…+x+1）+1]

=（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）；

（3）45+44+43+42+4+1

=×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）

=×（46﹣1）

=．