Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形DOCE是平行四边形，

∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴OC= AC= BD=OD，

∴四边形OCED为菱形；

（2）解：AE=BE．

理由：∵四边形OCED为菱形，

∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，

∴∠ADE=∠BCE，

在△ADE和△BCE中，

，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴AE=BE．

【解析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，进而利用全等三角形的判定得出．
【考点精析】通过灵活运用菱形的判定方法和矩形的性质，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等即可以解答此题．