Question

【题目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．

解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2s；（2）存在，cm2；（3）存在，t=1s

【解析】试题分析：

（1）由已知条件先证△ECQ中，CQ=EC=t，由此可得AQ=8-t，由勾股定理可得AB=10，由此可得AP=AB-BP=10-2t，若点A在PQ的垂直平分线上，则有AP=AQ，由此可得关于t的方程，解此方程即可得到所求的t的值；

（2）如图1，过点P作PM⊥BE，交BE于M，由sinB==，可得，由此可得PM=，再由S四边形APEC=S△ABC-S△APE即可用含t的式子表达出四边形APEC的面积了，再将所得表达式配方，即可求得当t为何值时，四边形ABEC的面积最小了；

（3）如图2，假设在某一时刻，点P、F、Q在同一直线上，此时，过点P作PN⊥AC于点N，则易得△PAN∽△BAC，由此可得，即，则可得PN=6﹣t ，AN=8﹣t，这样即可得到NQ=8﹣t﹣（8﹣）=，再证△QCF∽△QNP从而可得，即 ，由此即可解得所求的t的值了.

试题解析：

（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP=AQ；

∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，

∴∠EQC=45°；

∴∠DEF=∠EQC；

∴CE=CQ；

由题意知：CE=t，BP=2t，

∴CQ=t；

∴AQ=8﹣t；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；

则AP=10﹣2t；

∴10﹣2t=8﹣t；

解得：t=2；

答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；

（2）如下图1，过P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP=90°；

在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB==，

∴，

∴PM=，

∵BC=6cm，CE=t，

∴BE=6﹣t，

∴y=S△ABC﹣S△BPE

=BCAC﹣BEPM

=×6×8﹣(6﹣t)×

=

=，

∵，

∴抛物线开口向上；

∴当t=3时，y最小=；

答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．

（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；

如图2，过P作PN⊥AC，交AC于N

∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；

∵∠PAN=∠BAC，

∴△PAN∽△BAC，

∴，

∴，

∴PN=6﹣t ，AN=8﹣t，

∵NQ=AQ﹣AN，

∴NQ=8﹣t﹣（8﹣）=，

∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，

∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；

∵∠FQC=∠PQN，

∴△QCF∽△QNP；

∴，即 ；

∵0＜t＜4.5，

∴ ，

解得：t=1；

答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．