Question

【题目】阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认不是有理数，并给出了证明．假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，于是，两边平方得p2=2q2 ． 因为2q2是偶数，所以p2是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2 ， 即q2=2s2 ， 所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即不是有理数．请你有类似的方法，证明不是有理数．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】试题分析：根据题意利用反证法假设是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．

试题解析：假设 是有理数， 则存在两个互质的正整数m，n，使得 = ，

于是有2m3=n3 ，

∵n3是2的倍数，

∴n是2的倍数，

设n=2t（t是正整数），则n3=8t3 ， 即8t3=2m3 ，

∴4t3=m3 ，

∴m也是2的倍数，

∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾，

∴假设错误，

∴不是有理数.