Question

【题目】如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，

∴∠ACE+∠ACF= （∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）= ×180°=90°，

∴三个角为直角的四边形AECF为矩形

（2）解：结论：MN∥BC且MN= BC．

证明：∵四边形AECF为矩形，

∴对角线相等且互相平分，

∴NE=NC，

∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，

∴MN∥BC，

又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），

∴N是AC的中点，

若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，

则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，

而MN∥BC，M1即为点M，

所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）

∴MN= BC；

法二：延长MN至K，使NK=MN，

因为对角线互相平分，

所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，

所以MBCK是平行四边形，MK=BC，

所以MN= BC

（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．

理由：∵四边形AECF是矩形，

∴AC⊥EF，

∵EF∥AC，

∴AC⊥CB，

∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．

【解析】（1）证明三个角是直角即可解决问题；（2）结论：MN∥BC且MN= BC．只要证明MN是△ABC的中位线即可；（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）；
【考点精析】本题主要考查了角平分线的性质定理和菱形的性质的相关知识点，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．