Question

【题目】综合题。

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试证明：CD=BE．

（2）如图2，在△ABC中，仍然有条件“AB=AC，点D，E分别在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB=180°，则CD与BE是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）CD=BE

【解析】试题分析：（1）利用AAS证明△ABE≌△ACD，利用全等三角形的性质即可证得结论；（2）分别作CF⊥AB，BG⊥AC，CD=BE，利用AAS证明△FBC≌△GCB，根据全等三角形的对应边相等可得CF=BG；再证得∠ADC=∠BEG，利用AAS证明△CFD≌△BGE，根据全等三角形的对应边相等即可得结论.

试题解析：

（1）证明：∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC，

∴∠AEB=∠ADC=90°，

在△ABE与△ACD中， ，

∴△ABE≌△ACD（AAS）．

∴CD=BE

（2）CD=BE， 证明如下：分别作CF⊥AB，BG⊥AC，

∴∠CBF=90°，∠BGC=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

在△FBC和△GCB中， ，

∴△FBC≌△GCB．

∴CF=BG，

∵∠ADC+∠AEB=180°，

又∵∠BEG+∠AEB=180°，

∴∠ADC=∠BEG，

在△CFD和△BGE中， ，

∴△CFD≌△BGE，

∴CD=BE.