Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A,B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D。已知A(-1,0),C(0,3)

求抛物线的解析式；

在抛物线的对称轴上是否存在P点，使⊿PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；

点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，

①求直线BC 的解析式

②当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）P1（，4），P2（， ），P3（，﹣）；（3）①y=﹣x+2．②S四边形CDBF的面积最大=；E（2，1）

【解析】试题分析：（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出m、n的值即可；

（2）如图1中，分两种情形讨论①当PD=DC时，当CP=CD时，分别写出点P坐标即可．

（3）先求出BC的解析式，设出点E的横坐标为a，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．

试题解析：（1）∵抛物线y=-x2+mx+n经过A（-1，0），C（0，2）．

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+2；

（2）如图1，

∵y=-x2+x+2，

∴y=-（x-）2+，

∴抛物线的对称轴是直线x=．

∴OD=．

∵C（0，3），

∴OC=23

在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．

∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=DP2=DP3．

作CH⊥x轴于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（， ），P3（，-）；

（3）当y=0时，0=-x2+x+2

∴x1=-1，x2=4，

∴B（4，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，

解得： ，

∴直线BC的解析式为：y=-x+2．

如图2，

过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-a+2），F（a，-a2+a+2），

∴EF=-a2+a+2-（-a+2）=-a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，

=××2+a（-a2+2a）+（4-a）（-a2+2a），

=-a2+4a+（0≤x≤4）．

=-（a-2）2+

∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，

∴E（2，1）．